Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p
elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os
arranjos podem ser simples ou com repetição.Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos
simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter
a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos
com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde
aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão
no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em
cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser
satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é
CAFG.
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m
elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser
simples, com repetição ou circulares.Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações
simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a
repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6
letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2
vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3
elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15
grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo
também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}.
De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma
mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja
repetição das posições?Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações
simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter
a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada.
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações
com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm
todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não
podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral
neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com
16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste
conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA,
BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos
de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas
eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da
soma e a regra do produto.Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes
poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas
escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.
Construiremos uma sequência com os m elementos de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no
conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos.
Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que
sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o
(m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima
retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o
de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a
menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento,
restarão m-p+1 possibilidades de escolha.Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
| Retirada | Número de possibilidades |
|---|---|
| 1 | m |
| 2 | m-1 |
| 3 | m-2 |
| ... | ... |
| p | m-p+1 |
| No.de arranjos | m(m-1)(m-2)...(m-p+1) |
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto.
Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em
grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no
atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4
algarismos no final?IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto
que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a
4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número
de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta
escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos
com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de
permutações de m elementos:| Retirada | Número de possibilidades |
|---|---|
| 1 | m |
| 2 | m-1 |
| ... | ... |
| p | m-p+1 |
| ... | ... |
| m-2 | 3 |
| m-1 | 2 |
| m | 1 |
| No.de permutações | m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1 |
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas
ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e
escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o
conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e
com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3
livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6
e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos,
já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando
realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p
elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação
típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem
importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a
necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o
referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a
mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de
combinação.Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos
escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais
escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a
p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada
elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos
escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de permutações com repetição
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas.
Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de
permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos
numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas
vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora
coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter
C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As
possibilidades são C(10-3-2,5).O número total de possibilidades pode ser calculado como:
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um
após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos
dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos
tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø (b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# (c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØCada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes
por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado
na literatura científica como:Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1
| (a+b)k+1= | (a+b).(a+b)k |
|---|---|
| = | (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk] |
| = | a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk] +b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk] |
| = | ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk +akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1 |
| = | ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1 |
| = | ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1 |
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
| (a+b)k+1= | ak+1+(k+1)1akb +
(k+1)2ak-1b2 +
(k+1)3ak-2b3 +(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1 |
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